Μη γραμμική ανελαστική στατική ισογεωμετρική ανάλυση κελυφών με στοιχεία κελύφουςNonlinear inelastic static isogeometric shell analysis with shell elements

• Ξ = {0,0,0,1,2,3,3,3}, p = 2Ξ = {0,0,0,1,2,3,3,3}, p = 2Πέντε συναρτήσεις — n = πλήθος κόμβων − p − 1 — και τρία στοιχεία. Στο ξ = 1.5 οι μη μηδενικές είναι ακριβώς τρεις: 0.125, 0.75, 0.125. Στον κόμβο ξ = 1 γίνονται δύο ίσες, 0.5 και 0.5. Ποτέ περισσότερες από p+1, και το άθροισμα πάντα 1: αυτά τα δύο μαζί είναι ο λόγος που ο πίνακας της ανάλυσης βγαίνει αραιός και η γεωμετρία μένει στο κυρτό περίβλημα.Five functions — n = number of knots − p − 1 — and three elements. At ξ = 1.5 exactly three are non-zero: 0.125, 0.75, 0.125. At the knot ξ = 1 they become two equal ones, 0.5 and 0.5. Never more than p+1, and the sum always 1: those two together are why the analysis matrix comes out sparse and the geometry stays inside the convex hull.
• Διπλασίασε έναν κόμβοDouble a knotΓράψε 0 0 0 1 1 2 3 3 3. Ο κόμβος ξ = 1 έχει τώρα πολλαπλότητα 2, οπότε η συνέχεια εκεί πέφτει από C¹ σε C⁰ — και μία συνάρτηση φτάνει το 1 ακριβώς πάνω του, δηλαδή η καμπύλη θα περνούσε από το σημείο ελέγχου της. Με τρίτη επανάληψη (πολλαπλότητα p+1 = 3) η βάση γίνεται C⁻¹: εκεί σταματά η καμπύλη και αρχίζει η γωνία. Η λωρίδα κάτω από τον άξονα το γράφει σε κάθε κόμβο, χωρίς να χρειάζεται να μετρήσεις.Write 0 0 0 1 1 2 3 3 3. The knot ξ = 1 now has multiplicity 2, so the continuity there drops from C¹ to C⁰ — and one function reaches 1 exactly on it, meaning the curve would pass through its control point. With a third repeat (multiplicity p+1 = 3) the basis becomes C⁻¹: that is where the curve stops and the corner begins. The strip under the axis says it at every knot, so you never have to count.
• Ανέβασε τον βαθμό στο ίδιο διάνυσμαRaise the degree on the same vectorΠάτα p = 3 χωρίς να αλλάξεις το Ξ. Το πεδίο συρρικνώνεται από [0, 3] σε [1, 2] και οι συναρτήσεις πέφτουν σε τέσσερις: ένα διάνυσμα είναι δεσμευμένο για έναν βαθμό, γιατί θέλει p+1 επαναλήψεις σε κάθε άκρο. Γι’ αυτό το k-refinement ανεβάζει πρώτα τον βαθμό και βάζει κόμβους μετά — και γι’ αυτό τα κουμπιά που δεν χωράνε στο διάνυσμα σβήνουν μόνα τους.Press p = 3 without touching Ξ. The domain shrinks from [0, 3] to [1, 2] and the functions drop to four: a vector is clamped for one degree, because it needs p+1 repeats at each end. That is why k-refinement raises the degree first and inserts knots after — and why the buttons that do not fit the vector grey themselves out.
• Και τώρα το βάροςAnd now the weightΣτη θέση (1.5, 0.5) κυριαρχεί η R₃,₂ = 0.375. Σύρε το βάρος της στο 5: ανεβαίνει στο 0.750 — και η διπλανή της R₃,₁ πέφτει από 0.1875 σε 0.075, χωρίς να την αγγίξει κανείς. Ο παρονομαστής είναι κοινός: ένα βάρος δεν είναι τοπικός συντελεστής, είναι αναλογία απέναντι σε όλες τις άλλες. Και το άθροισμα μένει 1.000 — γι’ αυτό η ρητοποίηση δεν χαλάει τίποτα από όσα στηρίζονται σε αυτό.At (1.5, 0.5) the dominant one is R₃,₂ = 0.375. Drag its weight to 5: it climbs to 0.750 — and its neighbour R₃,₁ falls from 0.1875 to 0.075, with nobody touching it. The denominator is shared: a weight is not a local coefficient, it is a ratio against all the others. And the sum stays 1.000 — which is why making the basis rational breaks none of the guarantees that rest on it.

Τίποτα δεν είναι προϋπολογισμένο: η αναδρομή τρέχει σε κάθε καρέ, για κάθε δείγμα και για τους δύο άξονες. Το διάνυσμα δεν κανονικοποιείται στο [0, 1] — ο άξονας γράφει τους αριθμούς που έγραψες. Το πεδίο ορισμού είναι [ξ_p, ξ_n] και όχι όλο το διάνυσμα: δοκίμασε το μη δεσμευμένο 0 1 2 3 4 5 6 7 με p = 2 και θα δεις το πεδίο να πιάνει μόνο το [2, 5], όπου και μόνο εκεί οι συναρτήσεις αθροίζουν στη μονάδα. Τα δύο πεδία δέχονται κενά ή κόμματα, ως 14 τιμές, από 0 ως 99, και μπαίνουν με το κουμπί ή με Enter. Πληκτρολόγιο πάνω στην επιφάνεια: βελάκια για περιστροφή.Nothing here is precomputed: the recursion runs on every frame, for every sample, on both axes. The vector is not normalised to [0, 1] — the axis prints the numbers you wrote. The domain is [ξ_p, ξ_n], not the whole vector: try the unclamped 0 1 2 3 4 5 6 7 with p = 2 and watch the domain cover only [2, 5], which is exactly where the functions sum to one. Both fields take spaces or commas, up to 14 values, from 0 to 99, and enter the drawing with the button or with Enter. Keyboard on the surface: arrow keys to rotate.

S(ξ,η) = Σᵢ Σⱼ Rᵢⱼ(ξ,η) · Pᵢⱼ

K u = f ,  uᵢⱼ = (uₓ, uₖ, uₗ) ανά σημείο ελέγχουper control point

S′(ξ,η) = Σᵢ Σⱼ Rᵢⱼ(ξ,η) · (Pᵢⱼ + uᵢⱼ)

• Οι άγνωστοι είναι ο πίνακαςThe unknowns are the tableΔεκαπέντε σημεία ελέγχου, 45 άγνωστοι — και καμία γραμμή παραπάνω. Ο πίνακας των αποτελεσμάτων έχει τις ίδιες ετικέτες με τον πίνακα της γεωμετρίας, στην ίδια σειρά: η P₃,₂ από κάτω είναι η P₃,₂ από πάνω, μετακινημένη. Σε πεπερασμένα στοιχεία εδώ θα υπήρχε ένα δεύτερο πλέγμα, με δικούς του κόμβους και δική του αρίθμηση.Fifteen control points, 45 unknowns — and not one row more. The results table carries the same labels as the geometry table, in the same order: the P₃,₂ below is the P₃,₂ above, displaced. In finite elements there would be a second mesh here, with its own nodes and its own numbering.
• Δεν υπάρχει διακόπτης πλέγματοςThere is no mesh switchΚαι είναι σκόπιμο. Γράψε 0 0 0 1 2 3 4 5 5 5 στο Ξ: οι άγνωστοι πάνε από 45 σε 63 και η μετατόπιση από 0.2916 σε 0.2492 mm. Το ίδιο και στο Η — 45 σε 75. Πρόσεξε όμως τι άλλαξε μαζί: με νέο διάνυσμα ξαναγράφεται και ο πίνακας, οπότε αυτό δεν είναι σκέτη εκλέπτυνση, είναι άλλη διακριτοποίηση και άλλη παραμετροποίηση. Ακριβώς αυτό σημαίνει «ένα μοντέλο»: δεν υπάρχει βίδα να γυρίσεις μόνο τη μία μεριά.And that is on purpose. Write 0 0 0 1 2 3 4 5 5 5 into Ξ: the unknowns go from 45 to 63 and the displacement from 0.2916 to 0.2492 mm. Same on Η — 45 to 75. But notice what changed with it: a new vector rewrites the table too, so this is not plain refinement, it is a different discretisation and a different parameterisation. That is exactly what «one model» means: there is no screw that turns only one side.
• Το τόξο απέναντι στο επίπεδοThe arc against the planeΛύσε το τόξο όπως ανοίγει: 0.2916 mm. Πάτα επίπεδο και ξαναλύσε — 5.4570 mm, δηλαδή δεκαεννιά φορές περισσότερο, με τα ίδια σημεία, το ίδιο υλικό, το ίδιο πάχος και το ίδιο φορτίο. Πάτα σέλα και πέφτει στα 0.0198 mm, δεκαπέντε φορές κάτω από το τόξο: η διπλή καμπυλότητα είναι ακόμη πιο αποδοτική από τη μονή. Ένα κέλυφος δεν στέκεται με τη μάζα του, στέκεται με την καμπυλότητά του — το ίδιο μάθημα με το 1.1, εδώ με σημεία που γράφεις εσύ.Solve the arc as it opens: 0.2916 mm. Press plane and solve again — 5.4570 mm, nineteen times more, with the same points, the same material, the same thickness and the same load. Press saddle and it drops to 0.0198 mm, fifteen times below the arc: double curvature is even more efficient than single. A shell does not stand up by its mass, it stands up by its curvature — the same lesson as 1.1, here with points you wrote yourself.
• Στήριξη ή πάκτωσηPinned or clampedΓράψε πρώτα 0 0 0 1 2 3 3 3 στο Η — θα δεις γιατί αμέσως. Με στηριγμένες τις δύο ακμές η η μετατόπιση είναι 0.1821 mm· γύρισέ τες σε πάκτωση και πέφτει στα 0.0834 mm, στο μισό. Δεσμεύονται δύο σειρές σημείων αντί για μία, οπότε η κλίση στην ακμή γίνεται ακριβώς μηδέν — μια συνθήκη στροφής γραμμένη με θέσεις, χωρίς κανέναν στροφικό βαθμό ελευθερίας. Και αν το δοκιμάσεις με το αρχικό Η των τριών σειρών, ο επιλύτης θα σου πει ότι δύο πακτώσεις τις έφαγαν όλες: αυτό ακριβώς κοστίζει η πάκτωση.First write 0 0 0 1 2 3 3 3 into Η — you will see why in a moment. With both η edges pinned the displacement is 0.1821 mm; turn them into clamped and it halves to 0.0834 mm. Two rows of points are held instead of one, so the slope at the edge becomes exactly zero — a rotation condition written with positions, without a single rotational degree of freedom. And if you try it on the original three-row Η, the solver will tell you two clamps ate every row there was: that is precisely what clamping costs.
• Το E μετακινεί, δεν αλλάζει σχήμαE moves, it does not reshapeΔεκαπλασίασε το E: κάθε μετατόπιση γίνεται το ένα δέκατο, και ο λόγος τους μένει ίδιος ως το τελευταίο δεκαδικό. Το ίδιο και με το φορτίο, ανάποδα. Σε γραμμική ελαστικότητα το u είναι ανάλογο του φορτίου και αντιστρόφως ανάλογο του E — το σχήμα της παραμόρφωσης το γράφει η γεωμετρία και οι στηρίξεις, όχι το υλικό.Multiply E by ten: every displacement becomes a tenth of what it was, and their ratios stay identical to the last decimal. Same with the load, the other way round. In linear elasticity u is proportional to the load and inversely proportional to E — the shape of the deformation is written by the geometry and the supports, not by the material.
• Η λύση ξαναγίνεται σχήμαThe solution becomes a shape againΟ πίνακας των νέων σημείων από κάτω δεν είναι δεύτερο αποτέλεσμα — είναι ο ίδιος, συν μία πρόσθεση. Και επειδή τα P′ είναι πάλι σημεία ελέγχου πάνω στο ίδιο διάνυσμα κόμβων, το παραμορφωμένο σχήμα είναι NURBS και όχι νέφος μετακινημένων κόμβων: ξαναμπαίνει σε CAD ως γεωμετρία. Αυτό δεν είναι ευκολία, είναι το ίδιο το επιχείρημα της μεθόδου.The table of new points below is not a second result — it is the same one, plus an addition. And because the P′ are again control points over the same knot vectors, the deformed shape is NURBS and not a cloud of displaced nodes: it goes back into CAD as geometry. That is not a convenience, it is the argument for the method.
• Η εικόνα μεγεθύνει, οι αριθμοί όχιThe picture magnifies, the numbers do notΜε το τόξο όπως ανοίγει, το max |u| είναι 0.2916 mm σε φορέα δύο μέτρων: στην πραγματική του κλίμακα δεν θα ξεχώριζες την παραμόρφωση από την ευθεία. Γι’ αυτό ο καμβάς σχεδιάζει με συντελεστή — γραμμένο πάντα στη λεζάντα — και γι’ αυτό ο πίνακας δεν σχεδιάζει με κανέναν. Πάτα ×1 και δες τι σημαίνει «μικρές μετατοπίσεις»: η γραμμική ελαστικότητα ισχύει ακριβώς επειδή δεν φαίνεται τίποτα.With the arc as it opens, max |u| is 0.2916 mm on a two-metre structure: at true scale you could not tell the deformed shape from the original. That is why the canvas draws with a factor — always written in the caption — and why the table draws with none. Press ×1 and see what «small displacements» means: linear elasticity holds precisely because nothing shows.

Ο πυρήνας είναι ο ίδιος με το κέλυφος του 1.1 — Kirchhoff–Love με τρεις μετατοπίσεις ανά σημείο ελέγχου και καμία στροφή, ολοκλήρωση Gauss πάνω στα διαστήματα κόμβων, LDLᵀ σε ζώνη — και ελέγχεται απομονωμένος απέναντι σε δύο κλειστές λύσεις: το Scordelis–Lo και τη σειρά Navier της αμφιέρειστης τετράγωνης πλάκας. Οι μονάδες είναι σύμβαση: οι συντεταγμένες του πίνακα διαβάζονται ως μέτρα, το E και το φορτίο ως kN/m². Το φορτίο είναι ανά μονάδα επιφάνειας της μέσης επιφάνειας — το «κάθετο» ακολουθεί το a₃ = a₁ × a₂, δηλαδή αλλάζει μεριά αν αντιστραφεί η φορά του ξ. Μόλις αλλάξει ένα κελί, ένα βάρος, ένα διάνυσμα ή ένας βαθμός, τα αποτελέσματα σβήνουν: μετατοπίσεις δίπλα σε γεωμετρία που δεν τις γέννησε μοιάζουν με απάντηση, και δεν είναι. Γραμμική ελαστικότητα και μικρές μετατοπίσεις — αν το max |u| ξεπεράσει το πάχος, η εξίσωση έχει ήδη πάψει να ισχύει.The core is the same as the shell of 1.1 — Kirchhoff–Love with three displacements per control point and no rotations, Gauss integration over the knot spans, banded LDLᵀ — and it is checked in isolation against two closed-form solutions: Scordelis–Lo and the Navier series of the simply supported square plate. The units are a convention: the table’s coordinates read as metres, E and the load as kN/m². The load is per unit area of the mid-surface — «normal» follows a₃ = a₁ × a₂, so it changes side if the direction of ξ is reversed. The moment a cell, a weight, a knot vector or a degree changes, the results are cleared: displacements next to geometry that did not produce them look like an answer, and are not. Linear elasticity and small displacements — once max |u| passes the thickness, the equation has already stopped applying.

• Η επιφάνεια δεν περνά από τα σημείαThe surface misses the pointsΤο τόξο βάζει όλα του τα σημεία πάνω σε κύκλο ακτίνας 1, και η επιφάνεια περνά μέσα από αυτόν: στη μέση του πεδίου ο μετρητής γράφει 0.981, όχι 1. Αυτό δεν είναι σφάλμα, είναι το κυρτό περίβλημα — η ίδια ιδιότητα που κάνει τη γεωμετρία προβλέψιμη. Οι δύο ακραίες γωνίες όμως πιάνονται ακριβώς: με δεσμευμένο διάνυσμα η επιφάνεια ακουμπά τα τέσσερα σημεία των γωνιών.The arc puts every one of its points on a circle of radius 1, and the surface runs inside it: at the middle of the domain the counter reads 0.981, not 1. That is not an error, it is the convex hull — the very property that makes the geometry predictable. The extreme corners are met exactly though: with a clamped vector the surface touches the four corner points.
• Σήκωσε ένα και μόνο ZRaise a single ZΠάτα επίπεδο και γράψε 2 στο Z μιας μεσαίας γραμμής. Δεν σηκώνεται όλη η επιφάνεια: σηκώνεται το κομμάτι της που ζει πάνω στα (p+1)(q+1) στοιχεία του σημείου, και έξω από εκεί το φύλλο μένει ακίνητο στο μηδέν. Ο τοπικός φορέας των συναρτήσεων από πάνω, με μια συντεταγμένη αντί για διάγραμμα.Press plane and write 2 into the Z of a middle row. The whole surface does not rise: what rises is the part living over the point’s (p+1)(q+1) elements, and outside them the sheet stays flat at zero. That is the local support of the functions above, written with one coordinate instead of a diagram.
• Το βάρος τραβάει, δεν μετακινείA weight pulls, it does not moveΓράψε 5 στο w μιας γραμμής: η επιφάνεια τραβιέται προς εκείνο το σημείο χωρίς να κουνηθεί ούτε ένα X, Y ή Z. Γράψε 0.05 και τη διώχνει. Ο διακόπτης «Βάρος της» από πάνω γράφει στο ίδιο κελί — είναι ο ίδιος αριθμός, από δύο μεριές.Write 5 into the w of a row: the surface is pulled towards that point without a single X, Y or Z moving. Write 0.05 and it is pushed away. The «Weight of» slider above writes into the same cell — it is one number, reached from two sides.
• Άλλαξε διάνυσμα, χάνεις το δίκτυοChange the vector, lose the netΠρόσθεσε έναν κόμβο στο Ξ και οι γραμμές γίνονται περισσότερες: ο πίνακας ξαναγράφεται από την αρχή. Δεν είναι απροσεξία — ένα P που ανήκε στην τρίτη από πέντε συναρτήσεις δεν σημαίνει τίποτα όταν οι συναρτήσεις γίνουν έξι, όπως ακριβώς και τα βάρη. Πρώτα η βάση, μετά τα σημεία.Add one knot to Ξ and the rows multiply: the table is written again from scratch. That is not carelessness — a P that belonged to the third of five functions means nothing once there are six of them, exactly as with the weights. Basis first, points after.

Τα κελιά δέχονται κόμμα ή τελεία και επιστημονική σημειογραφία, οι συντεταγμένες ως ±999 και το βάρος από 0.05 ως 5 — τα ίδια όρια με τη λαβή του βάρους. Ό,τι δεν διαβάζεται ως αριθμός κοκκινίζει και το κελί ξαναγράφεται με την τιμή που όντως σχεδιάζεται. Το κάδρο μετριέται σε κάθε καρέ πάνω στα ίδια τα σημεία, οπότε ένα δίκτυο σε χιλιοστά και ένα σε μέτρα γεμίζουν το ίδιο τον καμβά: η κλίμακα εδώ δεν είναι πληροφορία, η μορφή είναι.The cells take a comma or a full stop and scientific notation, coordinates up to ±999 and weights from 0.05 to 5 — the same limits as the weight slider. Anything that does not read as a number turns red, and the cell is rewritten with the value actually drawn. The frame is measured on every frame from the points themselves, so a net in millimetres and one in metres fill the canvas alike: scale is not the information here, shape is.